来写一个softmax求导的推导过程，不仅可以给自己理清思路，还可以造福大众，岂不美哉~
softmax经常被添加在分类任务的神经网络中的输出层，神经网络的反向传播中关键的步骤就是求导，从这个过程也可以更深刻地理解反向传播的过程，还可以对梯度传播的问题有更多的思考。
softmax 函数
softmax(柔性最大值)函数，一般在神经网络中， softmax可以作为分类任务的输出层。其实可以认为softmax输出的是几个类别选择的概率，比如我有一个分类任务，要分为三个类，softmax函数可以根据它们相对的大小，输出三个类别选取的概率，并且概率和为1。
softmax函数的公式是这种形式：
S
i
=e
z
i
∑
k
e
z
k
Si=ezi∑kezk
S
i
Si代表的是第i个神经元的输出。
ok，其实就是在输出后面套一个这个函数，在推导之前，我们统一一下网络中的各个表示符号，避免后面突然出现一个什么符号懵逼推导不下去了。
首先是神经元的输出，一个神经元如下图：
神经元的输出设为：
z
i
=∑
j
w
ij
x
ij
+b
zi=∑jwijxij+b
其中w
ij
wij是第i
i个神经元的第j
j个权重，b
b是偏移值。z
i
zi表示该网络的第i
i个输出。
给这个输出加上一个softmax函数，那就变成了这样：
a
i
=e
z
i
∑
k
e
z
k
ai=ezi∑kezk
a
i
ai代表softmax的第i个输出值，右侧就是套用了softmax函数。损失函数 loss function
在神经网络反向传播中，要求一个损失函数，这个损失函数其实表示的是真实值与网络的估计值的误差，知道误差了，才能知道怎样去修改网络中的权重。
损失函数可以有很多形式，这里用的是交叉熵函数，主要是由于这个求导结果比较简单，易于计算，并且交叉熵解决某些损失函数学习缓慢的问题。交叉熵的函数是这样的：
C=−∑
i
y
i
lna
i
C=−∑iyilnai
其中y
i
yi表示真实的分类结果。
到这里可能嵌套了好几层，不过不要担心，下面会一步步推导，强烈推荐在纸上写一写，有时候光看看着看着就迷糊了，自己边看边推导更有利于理解~最后的准备
在我最开始看softmax推导的时候，有时候看到一半不知道是怎么推出来的，其实主要是因为一些求导法则忘记了，唉~
所以这里把基础的求导法则和公式贴出来~有些忘记的朋友可以先大概看一下：
推导过程
好了，这下正式开始~
首先，我们要明确一下我们要求什么，我们要求的是我们的loss对于神经元输出(z
i
zi)的梯度，即：
∂C
∂z
i
∂C∂zi
根据复合函数求导法则：
∂C
∂z
i
=∂C
∂a
j
∂a
j
∂z
i
∂C∂zi=∂C∂aj∂aj∂zi
有个人可能有疑问了，这里为什么是a
j
aj而不是a
i
ai，这里要看一下softmax的公式了，因为softmax公式的特性，它的分母包含了所有神经元的输出，所以，对于不等于i的其他输出里面，也包含着z
i
zi，所有的a
a都要纳入到计算范围中，并且后面的计算可以看到需要分为i=j
i=j和i≠j
i≠j两种情况求导。
下面我们一个一个推：
∂C
∂a
j
=∂(−∑
j
y
j
lna
j
)
∂a
j
=−∑
j
y
j
1
a
j
∂C∂aj=∂(−∑jyjlnaj)∂aj=−∑jyj1aj
第二个稍微复杂一点，我们先把它分为两种情况：
①如果i=j
i=j：
∂a
i
∂z
i
=∂(e
z
i
∑
k
e
z
k
)
∂z
i
=∑
k
e
z
k
e
z
i
−(e
z
i
)
2
(∑
k
e
z
k
)
2
=(e
z
i
∑
k
e
z
k
)(1−e
z
i
∑
k
e
z
k
)=a
i
(1−a
i
)
∂ai∂zi=∂(ezi∑kezk)∂zi=∑kezkezi−(ezi)2(∑kezk)2=(ezi∑kezk)(1−ezi∑kezk)=ai(1−ai)
②如果i≠j
i≠j：
∂a
j
∂z
i
=∂(e
z
j
∑
k
e
z
k
)
∂z
i
=−e
z
j
(1
∑
k
e
z
k
)
2
e
z
i
=−a
i
a
j
∂aj∂zi=∂(ezj∑kezk)∂zi=−ezj(1∑kezk)2ezi=−aiaj
ok，接下来我们只需要把上面的组合起来：
∂C
∂z
i
=(−∑
j
y
j
1
a
j
)∂a
j
∂z
i
=−y
i
a
i
a
i
(1−a
i
)+∑
j≠i
y
j
a
j
a
i
a
j
=−y
i
+y
i
a
i
+∑
j≠i
y
j
a
i
=−y
i
+a
i
∑
j
y
j
∂C∂zi=(−∑jyj1aj)∂aj∂zi=−yiaiai(1−ai)+∑j≠iyjajaiaj=−yi+yiai+∑j≠iyjai=−yi+ai∑jyj
最后的结果看起来简单了很多，最后，针对分类问题，我们给定的结果y
i
yi最终只会有一个类别是1，其他类别都是0，因此，对于分类问题，这个梯度等于：
∂C
∂z
i
=a
i
−y
i
